jueves, 27 de noviembre de 2008

domingo, 26 de octubre de 2008

viernes, 3 de octubre de 2008

FUNCIONES PARES E IMPARES

Se dice que una función es par cuando presenta simetría sobre el eje de ordenadas, esto es, si


Una función es impar si presenta simetría con respecto al origen de coordenadas, esto es si


Una función que no presenta simetría par no tiene necesariamente simetría impar. Algunas funciones no presentan ninguno de los dos tipos de simetría o bien la presentan frente a focos o ejes distintos del origen de coordenadas o el eje de ordenadas (o eje Y). Dichas funciones se dice que no poseen paridad.

FUNCION INVERSA

Dada una funcion f:A -- B, se denomina funcion inversa de f, f-1: B -- A a la funcion que cumple la suguiente condicion:



Si existe una función que cumpla esas dos condiciones, ser inversa por la izquierda y ser inversa por la derecha, se demuestra que esa función es única. Eso justifica la notación f-1, que sería ambigua si pudiera haber dos inversas de la misma función.
Sólo algunas funciones tienen inversa. De hecho, la condición necesaria y suficiente para la existencia de f-1 es que f sea biyectiva. Por tanto, las afirmaciones

miércoles, 1 de octubre de 2008

FUNCIONES SEGUN TIPO DE APLICACION

Dados dos conjuntos X e Y, podemos clasificar a todas las funciones F: X-- Y definidas entre ellos, en:

Función inyectiva:
Aquellas en que a cada imagen le corresponde un único origen. Formalmente,


que es igual que



Función sobreyectiva:
Aquellas en que la aplicación es sobre todo el codominio, es decir, cuando el conjunto imagen Imf=Y . Esto significa que todo elemento del codominio tiene un origen. Formalmente,



Estas funciones también se conocen como exhaustivas o epiyectivas.

Función biyectiva:
Aquellas que son al mismo tiempo inyectivas y sobreyectivas. Formalmente,



Ejemplos

sobreyectiva, no inyectiva---inyectiva, no sobreyectiva---biyectiva---no sobreyectiva, no inyectiva




FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES

Una Funcion es Creciente, si para cada incremento de "x" corresponde un incremento en "y"

Una Funcion Decreciente: es una funcion en la cual a un incremento de "x" corresponde una disminucion de "y"

Para determinar el caracter Creciente o Decreciente de una funcion se aplica el Criterio de la 1ra Derivada

Sus condiciones:

Si el cociente entre los incrementos es Positivo (+) la funcion es Creciente

f´(a) > 0 la funcion es Creciente para x = a


y el cociente sera (-) si la funcion es Decreciente

f´(a) < 0 la funcion es Creciente para x = a


Ejemplo:

Establecesr si la funcion 2x² para los Valores x = 3, x = - 3

y = 2x²

y´= 4x

para f´=(-3) = 4 (-3) = -12 < 0 = Funcion Decreciente


para f´=(3) = 4 (3) = 12 > 0 = Funcion Creciente

FUNCIONES CONTINUAS Y DISCONTINUAS

CONTINUAS:
Sean (X,TX) e (Y,TY) dos espacios topológicos. Una aplicación f:x -- y se dice que es continua si:

f − 1(G) es un abierto de X,

cualquiera que sea el abierto G de Y.

Con la misma notación, si x pertenece a x, diremos que f es continua en x cuando se obtiene que f − 1(V) es un entorno de x, cualquiera que sea el entorno V de f(x).

Es "inmediato" entonces comprobar que f es continua si y solo si es continua en x que pertenece a x, cualquiera que sea éste, es decir, cuando sea continua en cada uno de los puntos de su dominio.

DISCONTINUAS:
Una función es discontinua si no es continua en un punto evaluado. Osea si se divide en mas de una representacion en la grafica.

FUNCIONES TRASCENDENTALES

Las funciones racionales y las irracionales, que han sido tratadas en las páginas anteriores, se denominan funciones algebraicas.
Las funciones que no son algebraicas se llaman funciones trascendentes.

Son funciones trascendentales elementales

Función exponencial:
f(x)=ax; a > 0, a ¹ 1.

Función logarítmica:
f(x)=loga(x); a > 0, a ¹ 1. Es inversa de la exponencial.



Funciones trigonométricas:
También llamadas circulares

f(x)=sen(x); f(x)=cos(x); f(x)=tg(x); f(x)=cosec(x); f(x)=sec(x) y f(x)=cotg(x)

Hay otras funciones elementales como las hiperbólicas y las inversas de éstas y de las trigonométricas, pero no pretendemos en esta unidad didáctica presentarlas todas y más bien analizar algunos casos, no excesivamente complicados, donde intervengan las primeras.

Debemos de tener en cuenta las siguientes observaciones para la hora de analizar las funciones trascendentes que se proponen en esta unidad didáctica:

f(x)=ax está definida para todo x en R
f(x)=a-x=(1/a)x, a>1, 0<1/a<1
f(x)=loga(x) está definida para x>0
Representaremos el logaritmo decimal log10(x) por log(x) y el logaritmo neperiano loge(x) por ln(x), siendo e=2,718281... el llamado número 'e'

f(x)=sen(x) y f(x)=cos(x) están definidas para todo valor de x. Su periodo es 2p

miércoles, 17 de septiembre de 2008

Tipos de funciones

Funcion cuadratica

La función cuadrática responde a la formula: y= a x2 + b x + c con a =/ 0. Su gráfica es una curva llamada parábola cuyas características son:
Si a es mayor a 0 es cóncava y admite un mínimo. Si a es menor a 0 es convexa y admite un máximo.
Vértice: Puntos de la curva donde la función alcanza el máximo o el mínimo.
Eje de simetría: x = xv.
intersección con el eje y.
Intersecciones con el eje x: se obtiene resolviendo la ecuación de segundo grado.

Función Exponencial

Se aplica a la química y física. En algunos elementos radioactivos son de tal naturaleza que su cantidad disminuye con respecto al tiempo, se cumple la ley exponencial y se dice que el elemento decrece o decae.
En la química, el PH de una sustancia se define como : H = -Log H+, donde H+ es la concentración de iones de una sustancia expresada en moles por litro. El PH del agua destilada es 7. Una sustancia con un PH menor que 7, se dice que es ácida, mientras que su PH es mayor que 7, se dice que es base. Los ambientalistas miden constantemente el PH del agua de lluvia debido al efecto dañino de la "lluvia ácida" que se origina por las emisiones de dióxido de azufre de las fábricas y plantas eléctricas que trabajan con carbón.

Otras de la aplicación de las funciones exponencial fue con el descubrimiento del Polonio (elemento radioactivo) descubierto por Marie Curie en 1 898 decae exponencialmente de acuerdo a la función: m = m0 e-0,005t, donde m0 es la masa inicial del Polonio, m es la masa al cabo de un tiempo y t es el tiempo en días.

Las funciones trigonométricas son valores sin unidades que dependen de la magnitud de un ángulo. Se dice que un ángulo situado en un plano de coordenadas rectangulares está en su posición normal si su vértice coincide con el origen y su lado inicial coincide con la parte positiva del eje x.
En la figura 3, el punto P está situado en una línea recta que pasa por el origen y que forma un ángulo q con la parte positiva del eje x. Las coordenadas x e y pueden ser positivas o negativas según el cuadrante (I, II, III, IV) en que se encuentre el punto P; x será cero si el punto P está en el eje y o y será cero si P está en el eje x. La distancia r entre el punto y el origen es siempre positiva e igual a ¶x2+ y2, aplicando el teorema de Pitágoras.



Las seis funciones trigonométricas más utilizadas se definen de la siguiente manera:



Como la x y la y son iguales si se añaden 2p radianes al ángulo —es decir, si se añaden 360°— es evidente que sen (q + 2p) = sen q. Lo mismo ocurre con las otras cinco funciones.



Si el punto P, de la definición de función trigonométrica, se encuentra en el eje y, la x es cero; por tanto, puesto que la división por cero no está definida en el conjunto de los números reales, la tangente y la secante de esos ángulos, como 90°, 270° y -270° no están definidas. Si el punto P está en el eje x, la y es 0; en este caso, la cotangente y la cosecante de esos ángulos, como 0°, 180° y -180° tampoco está definida. Todos los ángulos tienen seno y coseno, pues r no puede ser igual a 0.
Como r es siempre mayor o igual que la x o la y, los valores del sen q y cos q varían entre -1 y +1. La tg q y la cotg q son ilimitadas, y pueden tener cualquier valor real. La sec q y la cosec q pueden ser mayor o igual que +1 o menor o igual que -1.
Como se ha podido ver en los anteriores apartados, el valor de las funciones trigonométricas no depende de la longitud de r, pues las proporciones son sólo función del ángulo.
Si q es uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo (figura 4), las definiciones de las funciones trigonométricas dadas más arriba se pueden aplicar a q como se explica a continuación. Si el vértice A estuviera situado en la intersección de los ejes x e y de la figura 3, si AC descansara sobre la parte positiva del eje x y si B es el punto P de manera que AB = AP = r, entonces el sen q = y/r = a/c, y así sucesivamente:

Los valores numéricos de las funciones trigonométricas de ciertos ángulos se pueden obtener con facilidad. Por ejemplo, en un triángulo rectángulo isósceles, se tiene que q = 45 ° y que b = a, y además se sabe, por el Teorema de Pitágoras, que c2= b2+ a2. De aquí se deduce que c2= 2a2 o que c = a¶2. Por tanto

Los valores numéricos de las funciones trigonométricas de un ángulo cualquiera se pueden hallar de forma aproximada
dibujando el ángulo en su posición normal utilizando la regla, el compás y el transportador de ángulos. Si se miden x, y y r es fácil calcular las proporciones deseadas. En realidad, basta con calcular los valores del sen q y del cos q para unos cuantos ángulos específicos, pues los valores de los demás ángulos y las demás funciones se calculan utilizando las igualdades que se mencionan en el siguiente apartado.
Las razones trigonométricas se pueden utilizar, fundamentalmente, para resolver triángulos, así como para resolver diferentes situaciones problemáticas en otras ciencias.

FUNCIONES

Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia xn de la variable x. En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente. Hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán, J.P.G. Lejeune-Dirichlet (1805-1859), quien escribió: "Una variable es un símbolo que representa un número dentro de un conjunto de ello. Dos variables X y Y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a X entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y, se dice que Y es una función (unívoca) de X. La variable X, a la que se asignan libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de la X, se llama variables dependientes. Los valores permitidos de X constituyen el dominio de definición de la función y los valores que toma Y constituye su recorrido".

Una función f de A en B es una relación que le hace corresponder a cada elemento x E A uno y solo un elemento y E B, llamado imagen de x por f, que se escribe y=f (x). En símbolos, f: A à B
Es decir que para que una relación de un conjunto A en otro B sea función, debe cumplir dos condiciones, a saber:
Todo elemento del conjunto de partida A debe tener imagen.
La imagen de cada elemento x E A debe ser única. Es decir, ningún elemento del dominio puede tener más de una imagen.
El conjunto formado por todos los elementos de B que son imagen de algún elemento del dominio se denomina conjunto imagen o recorrido de f.

Observaciones:
En una función f: Aà B todo elemento x E A tiene una y solo una imagen y E B.
Un elemento y E B puede:
No ser imagen de ningún elemento x E A
Ser imagen de un elemento x E A
Ser imagen de varios elementos x E A.
La relación inversa f-1 de una función f puede no ser una función.

Formas de expresión de una función
Mediante el uso de tablas:

X Y

-1 1

0 0

½ ¼

1 1

2 4

Tareas de desigualdades

Primera tarea de desigualdades

1) 1 < igual que X < igual que 6
[ 1, 6 ]
_________[-------------------------------------]_________
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

2) X < igual que 3
( -oo, 3]

(infinito------------------]____________
-2 -1 0 1 2 3 4

3) -1 < X < igual que 3
(-1, 3]

________(---------------------------]______
-2 -1 0 1 2 3 4

4) -1 < igual que X < igual que 2
[ -1,2]

________[-----------------------]________
-2 -1 0 1 2 3

5) X > 1
(1, oo)

__________(--------------------infinito)
-1 0 1 2 3

6) -3 < X < 3
(-3 , 3)

________(------------------)_________
4 -3 0 3 4

7) -4 < igual que X < 0
[-4, 0 )

____________[-----------------)______________
-5 -4 0 1

8) X < igual que -1
[-1, -oo)

_____________[--------------------------infinito)
-2 -1 0 1



9) -2 < X < igual que ¾
(-2, 3/4]

____________(---------------------]_______
-3 -2 0 ¾ 1


10) X < igual que 3/2
(-oo, 3/2]

(infinito-------------------------]____________
-1 0 1 3/2 2


11) -2 < igual que X < igual que 6
[-2, 6]

_________[-----------------]_________
-3 -2 0 6 7


12) X > -4
(-4, oo)

(------------------infinito)
-4 0 1


13) X > igual que -5/2
[-5/2, oo)

__________[------------------------------infinito)
-3 -5/2 -2 -1 0 1 2


14) -5 < igual que X < igual que 5
[-5, 5]

[--------------------]
-5 0 5


15) -1/2 < igual que X < igual que 7/3
[-1/2, 7/3]

______[--------------------]________
-1 -1/2 0 1 2 7/3 3






Segunda tarea de desigualdades

1) 3/x > igual que 3
3/3 > igual que X
X < igual que 1 (-oo, 1]

infinito-----___________*____]
-1 0 1

2) 5/x < 6/7
5/1 / 6/7 < X
35/6 < X
X > 35/6 (35/6, oo)

_______________________(____------infinito
-1 0 5 35/6 6

3) x/2 -4x < igual que 5/6
x/2 - 8/2x< igual que 5/6
-7/2x < igual que 5/6
-7x < igual que 10/6
-7 < igual que 5/3
X > igual que 5/3 / -7/1
X > igual que -5/21 [-5/21, oo)

_____________[_________________________-----infinito)
-2 -5/21 -1 0 1

4) x/2x -3 > 5
x/5 > 2x -3
x/5 -2x > -3
-18/10x > -3
-9/5x > -3
-9x > -15
X < 15/9
X < 5/3 (5/3, -oo)

(_______________________)______
-1 0 5/3 1

5) -1 < 3-7x / 4 < igual que 6
-4 < 3 -7x < igual que 24
-7 < -7x < igual que 21
-7/-7 > x > igual que 21/-7
1 > x > igual que -3
-3 < igual que X < 1 [-3, 1)

[__________________________________________________)_____________
-3 -2 -1 0 1 2




Tercera tarea de desigualdades

/ 7 -3x/2 / < igual que 1
/-3x / < igual que 1-7
/x / < igual que -6/-3
/x/ > igual que 2


/1-2x/3 / < 4
/ 1- 2x / < 12
/ -2x / < 11
/x/ < -11/2
/x/ > 11/2


/3 -11x / > igual que 41
/-11x/ > igualque 41-3
/x/ > igual que 38/-11
/x/ > igual que 38/11





Cuarta tarea de desigualdades

3 - 2/3x < igual que 1
-2/3x < igual que -2
-2x< igual que -6
X< igual que -6/-2
X > igual que 3



2x -1 < igual que 2x +4
2x-2x < igual que 4+1
0 < igual que 5
0 < igual que X < igual que 5



1/3x + ½ < 2/3 -5/2x
1/3x + 5/2x < 2/3 -1/2
17/6x < 1/3
17x < 6/3
X < 2*17
X < 34




x/2 < -5x +2/3
x/2 +5x < 2/3
11/2x < 2/3
11x < 4/3
X < 4/3 / 11
X < 4/33



3 > 6 -3/5x > igual que 1
3-6 > -3/5x > igual que 1-6
-3 > -3/5 > igual que -5
-15 > -3x > igual que -25
-15/-3 > x > igual que -25/-3
5 < X < igual que 25/3

lunes, 1 de septiembre de 2008

DESIGUALDADES



Una desigualdad matemática es una expresión matemática en la que ambos miembros no son equivalentes entre sí (lo contrario a lo que ocurre en una igualdad).

En la desigualdad, los términos están relacionados por un símbolo de "es mayor que" o "es menor que". El primero es > y el segundo <. También existen otros derivados de estos dos. Si alguno de estos dos símbolos aparece acompañado por una línea horizontal por debajo, significa "mayor o igual que" o "menor o igual que", respectivamente. Un ejemplo de una desigualdad es: 2x + 7 < 19 Que se lee como "2 x más 7 es menor que 19". Y representa al conjunto de números para el que esta expresión es verdadera. Ejs: 4^x-2 (4 equvale a x-2) /esto nos llevaria ya a un prefijo ecuacional puro, eliminando las incomodidades de la escritura dialectal.

Algunos problemas matemáticos se plantean como desigualdades en lugar de ecuaciones. Las desigualdades se resuelven de manera similar a una ecuación. Para resolver una desigualdad debemos determinar los valores que satisfacen a la desigualdad.

INTERVALOS

Un intervalo es un conjunto de números, generalmente reales, que tiene límites bien definidos. Por ejemplo, el intervalo de números entre 5 y 100, es el conjunto formado por todos los números ubicados, en la recta numérica, entre 5 y 100, es decir, mayores que 5 y menores que 100; se dice entonces que los límites de este intervalo son 5 y 100.

INTERVALO ABIERTO:

Se llama intervalo abierto (a,b) al conjunto de los números reales x que verifican la siguiente desigualdad:
ab ... (a,b).

INTERVALO SEMIABIERTO:

Se denomina intervalo semiabierto (a,b) al conjunto de los números reales x que cumplen que a≤x

INTERVALO CERRADO:

Se denomina intervalo cerrado (a,b) al conjunto de los números reales x que cumplen que a≤x≤b ... [a,b].

jueves, 28 de agosto de 2008

REPASO DEL 28/08/08

REPASO MIGUEL SEVILLA

28/08/08

Demostrar que el siguiente numero puede expresarse como el cociente de dos enteros:

Ejemplo:

1) 3.242424 si x=3.242424, 100x-x=324.24-3.24, 99x=321, entonces
X=321/99 que es igual a 107/33

2) 0.5 5/10 que es igual a ½

3) 0.75 75/100 que es igual a ¾

A que propiedad corresponden las siguientes expresiones:

1) (-2) + (2)=0 INEVRSO
2) 3( +1) = ( +1)3 CONMUTATIVA
3) +0= IDENTIDAD
4) Si X= entonces =x CONMUTATIVA
5) raiz de 2=raiz de 2 REFLEXIVA
6) (X+2Y)+ = +(X+2Y) ASOCIATIVA

EXPRESA LOS SIGUIENTES NUMEROS COMO RACIONAL, ENTERO O DECIMAL, SI ES POSIBLE.

a) 0.444 444/1000 222/500 111/250 RACIONAL
b) 0.505050 100x=50.50 99x=50 x=50/99 RACIONAL
c) 5.818181 100x=58.81 99x=576 x=576/99 RACIONAL
d) 3.023023 1000x=3023.023 999x=3023 x=3023/999 RACIONAL
e) 1/8 = 0.125RACIONAL
f) 15/23 = 0.652173913
g) raiz de 2 DECIMAL
h) π = 3.1416 DECIMAL

Propiedades

HISTORIA DE LOS NUMEROS REALES

En la era primitiva, a causa de la necesidad de representar cantidades y asi resolver los problemas que se representan en nuestro alrededor.

Diversas culturas representan la noción de cantidad según su desarrollo lo permitía. Fruto de esta diversidad nacen las notaciones de cantidad como la romana, babilónica, griega, etc. Se sabe que los babilonios utilizaron simples enteros positivos para tratar de contar unas pocas ovejas, mientras que hoy en día los enteros positivos no satisfacen el complejo mundo de las
matemáticas.

Desde luego el significado que cada grupo social asigna a un determinado conocimiento o idea, implica mucho en su visión de vida. Por ejemplo los pitagóricos tenían una explicación de la realidad basada en los números. Filolao, filósofo pitagórico, resume perfectamente el papel tan
importante que se le otorgaba:

“El número reside en todo lo que es conocido. Sin él es imposible pensar nada ni conocer nada.”


La facultad de contar está implícita en la aparición del número. Se mencionó
que el hombre hacía marcas, aunque a veces los seguimos haciendo, para
representar ciertas cantidades, pues esta actividad, que perdura desde
tiempos inmemoriales, se formalizó en cada cultura con el número.

El hombre advirtió que todos los conjuntos de objetos o de seres tienen una
cualidad en común, con independencia de la naturaleza de los objetos o de
los seres que lo componen. La cualidad se denomina número. Un ejemplo
práctico reside en que el hombre al realizar tantas marcas, juntar tantas
piedras, hacer tantos nudos deduce racionalmente, según la contabilidad de
cada objeto, que dichas contabilidades conllevan a “representaciones”, que
no depende de qué estuviese contando, sino más bien del número de marcas,
de piedras, de nudos, etc. Entonces se estableció un símbolo para cada
contabilidad respectiva.

De ahí que la notación que utilizamos hoy en día, que en general, fueron
traídos de la India a Europa, por los árabes en el siglo X.

Las siguientes imágenes son ejemplos de representaciones de números:



Los números han pasado por un largo proceso de evolución, por ejemplo el grupo griego liderado por Pitágoras se dieron cuenta de la necesidad de los números irracionales.

Los Números negativos fueron inventados por matemáticos indios cerca del 600.

Con todo esto el estudio de los números para su construcción y sistematización en el siglo XIX fue logrado con la teoría de conjuntos de Georg Cantor( encanjamientos sucesivos) y el análisis matemático de Richard Dedekind, todo esto siendo resultado de las aportaciones por matemáticos como Descartes, Newton, etc.

lunes, 25 de agosto de 2008

numeros reales

Los números reales se definen de manera axiomática como el conjunto de números que se encuentran en correspondencia biunívoca con los puntos de una recta infinita (continuum): la recta numérica. El conjunto de los números reales se simboliza con la letra . El nombre de número real se propuso como antónimo de número imaginario.


Número real
El concepto de número real se originó cuando se constató la existencia de los números irracionales. Así, el conjunto de los números reales se define como la unión del conjunto de los números racionales y el conjunto de los irracionales.
Debido a que el conjunto de números reales contiene al conjunto de números racionales, y éste a su vez contiene a los enteros que a su vez contiene los números naturales, se sugiere que el conjunto de los números reales contiene también a los números enteros y a los números naturales. Asimismo, el conjunto de números reales contiene al de los números irracionales.
Por tanto, los números reales pueden ser racionales o irracionales, algebraicos o trascendentes; y positivos, negativos, o cero.
Puede definirse un número real, en estos términos, como un número positivo o negativo que puede o no tener cifras de decimal finito o infinito y puede representarse mediante un punto en la recta de números reales. En este sentido, el teorema fundamental de la geometría analítica establece que a cada número real le corresponde un punto en la recta de los números reales y viceversa.
Con números reales pueden realizarse todo tipo de operaciones básicas con dos excepciones importantes:
1.- No existen raíces de orden par (cuadradas, cuartas, sextas, etc) de números negativos en números reales, razón por la que existe el conjunto de los números complejos donde estas operaciones sí están definidas.
2.- No existe la división entre cero, pues carece de sentido dividir entre nada o entre nadie, es decir, no existe la operación de dividir entre nada.
Estas dos restricciones tienen repercusiones importantes en ramas más avanzadas de las matemáticas: existen asíntotas verticales en los lugares donde una función se indefine, es decir, en aquellos valores de la variable en los que se presenta una división entre cero, o no existe gráfica real en aquellos valores de la variable en que resulten números negativos para raíces de orden par, por mencionar un ejemplo de construcción de gráficas en geometría analítica.